【一元二次方程根的判别式】变式练习

变式1（基础：直接判断根的情况）
判断下列方程根的情况：
(1) x2+3x−2=0x2+3x−2=0
(2) 2×2−4x+2=02x2−4x+2=0

变式2（中等：含参数，判断根的情况）
关于x的方程 x2−2x+m=0x2−2x+m=0 有两个相等的实数根，求m的值。

变式3（中等：方程形式变化）
关于x的方程 kx2−2x+1=0kx2−2x+1=0 有实数根，求k的取值范围。

变式4（提高：综合应用）
已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−1)x+m2=0x2+(2m−1)x+m2=0 有两个不相等的实数根，且两根之积为4，求m的值。

【一元二次方程根的判别式】变式练习

核心方法提示：对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a=0) ，令 Δ=b2−4acΔ=b2−4ac 。

• Δ>0  ⟺  Δ>0⟺ 方程有两个不相等的实数根；
• Δ=0  ⟺  Δ=0⟺ 方程有两个相等的实数根；
• Δ<0  ⟺  Δ<0⟺ 方程没有实数根。

变式 1（基础巩固：直接判定根的个数）

【变式要点】：给定具体系数，直接计算 ΔΔ 并判断根的情况，熟悉基本公式。

已知关于 xx 的一元二次方程 2×2−5x+3=02x2−5x+3=0 ，不解方程，请通过计算判别式 ΔΔ 的值，判断该方程根的情况。

变式 2（中等进阶：改变系数符号与参数范围）

【变式要点】：引入参数 kk ，已知根的情况（有两个不相等的实数根），反求参数的取值范围，注意二次项系数不为 0 的隐含条件。

已知关于 xx 的一元二次方程 kx2−4x+2=0kx2−4x+2=0 有两个不相等的实数根。
(1) 求实数 kk 的取值范围；
(2) 若 kk 为满足条件的最大整数，求此时方程的根。

变式 3（提高辨析：方程形式变化与完全平方式）

【变式要点】：方程形式看似复杂或含参，实则考察 Δ=0Δ=0 的特殊情况（完全平方式），需先整理为一般式。

已知关于 xx 的方程 (m−1)x2+2mx+(m+3)=0(m−1)x2+2mx+(m+3)=0 有两个相等的实数根。
(1) 求 mm 的值；
(2) 当 mm 取该值时，原方程是否仍为一元二次方程？请说明理由并求出此时的根。

变式 4（综合应用：含参系数符号讨论与存在性问题）

【变式要点】：系数中含有字母参数且符号不确定，需分类讨论或利用代数式恒正/恒负性质判断 ΔΔ 的符号，证明根的存在性。

已知关于 xx 的一元二次方程 x2−(2k+1)x+k2+k=0x2−(2k+1)x+k2+k=0 （其中 kk 为任意实数）。
(1) 求证：无论 kk 取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若该方程的两个实数根 x1,x2x1​,x2​ 满足 ∣x1−x2∣=3∣x1​−x2​∣=3 ，求 kk 的值。

【一元二次方程根的判别式】变式练习

变式1（改变二次项系数符号）
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $-2x^2 + 4x + 【k】 = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围。

变式2（增加参数）
设 $m$ 为实数，方程 $x^2 – 2mx + m^2 – 【3】 = 0$ 有实数根，求 $m$ 的取值范围。

变式3（方程形式变化：含绝对值符号）
当 $a \ge 0$ 时，方程 $x^2 – 4x + |a – 【1】| = 0$ 恰有一个实数根，求 $a$ 的值。

变式4（提高：参数与根的性质结合）
已知方程 $(k – 【2】)x^2 + 2kx + 1 = 0$ 为一元二次方程，且其两根异号，求 $k$ 的取值范围。